LINGKARAN 5: GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM DUA LINGKARAN

- January 20, 2021

isal diberikan dua lingkaran yang berpusat di $M$ dan $N$ yang berturut-turut memiliki jari-jari $R$ dan $r$ serta jarak antar titik pusat kedua lingkarannya adalah $p$ (perhatikan gambar di bawah ini).

Bagaimana cara menentukan panjang garis singgung kedua lingkaran tersebut?

Pertama dibuat garis yang menyinggung kedua lingkaran tersebut, misal sebut garis $AB$ dengan titik $A$ dan $B$ menyinggung masing-masing lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa garis yang menyinggung kedua lingkaran adalah tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang bersangkutan. Dalam hal ini, garis singgung yang seperti ini dikenal dengan nama Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran.

Dalam menentukan panjang garis singgung persekutuan ini, akan dimanfaatkan Pythagoras sehingga kita harus membentuk segitiga siku-siku. Perhatikan garis singgung $AB$ , apabila garis $AB$ digeser sedemikian hingga membentuk garis $ON$ dan sejajar dengan garis $AB$ dengan titik $B$ berhimpit dengan titik pusat lingkaran yaitu titik $N$ , maka akan terbentuk segitiga $MNO$ yang siku-siku di $O$ . Dari sini, berakibat panjang $AB = ON$ dan panjang $AO=BN$ . Karena panjang $AO=BN=r$ , berakibat panjang $MO = R+r$ (perhatikan gambar di bawah ini).

Selanjutnya dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh

$NO = \sqrt{MN^2-MO^2}$

$d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}$

dengan $p$ adalah jarak pusat kedua lingkaran.

Contoh 1.

Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat M dan N, dengan panjang jari-jari berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jika jarak titik M dan N adalah 17 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah …

Diketahui : R = 10 cm, r = 5 cm dan p = 17 cm

$d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}$

$= \sqrt{17^2-(10+5)^2}$

$= \sqrt{17^2-15^2}$

$= \sqrt{289-125}$

$= \sqrt{64} = 8$

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 8 cm.

Contoh 2.

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 17 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain!

Diketahui : d = 15 cm, p = 17 cm dan r = 3 cm

Ditanya : R = …

$d^2 = p^2-(R+r)^2$

$15^2 = 17^2-(R+3)^2$

$255 = 289-(R+3)^2$

$(R+3)^2 = 289-225 = 64$

$R+3 = 8$

$R = 5$

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lainnya adalah 5 cm.

Contoh 3.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Diberikan dua buah lingkaran yang berpusat di A dan B serta masing-masing lingkaran berjari-jari 16 cm dan 8 cm. Misal AB merupakan garis yang menghubungkan kedua titik pusat dengan panjang 30 cm serta MN merupakan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran. Jika dibuat garis AO sedemikian hingga sejajar dengan garis MN serta perbandingan MC dan CN adalah 2 : 1. Berapakah luas bangun ACNO?

Dalam mencari luas bangun datar tersebut, jika diperhatikan bangun datar itu dapat dipandang sebagai bangun trapesium dengan AO dan CN sebagai dua sisi yang sejajar dan ON sebagai tingginya. Oleh karena itu, perhatikan

$AO = \sqrt{AB^2-BO^2}$