LINGKARAN 3 : HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING

 

Pengertian Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut Pusat merupakan sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari dan berbentuk pada inti lingkaran. (Lihat gambar: 1). Sudut Keliling merupakan sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berbentuk di satu titik pada keliling lingkaran. (Lihat gambar: 2)

Gambar 1 – Sudut Pusat

Gambar 2 – Sudut Keliling

---

Hubungan Antara Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Perhatikan pada gambar diatas, bawah sudut AOB adalah sudut pusat dan sudut ACB merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu busur AB. Kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Lingkaran di samping memiliki jari-jari OA, OB, OC, OD = r

Misal : sudut AOD = x dan sudut DOB = y, maka besar sudut AOB = sudut AOD + sudut DOB = x + y

Perhatikan Segitiga BOC!

Sudut BOC pelurus bagi sudut DOB maka sudut BOC + sudut DOB = 180°, sehingga sudut BOC = 180° – sudut DOB = 180° – y.

Segitiga BOC adalah segitiga kaki, karena OC dan OB adalah jari-jari lingkaran, sehingga besar sudut OBC dan OCB sama (misal z).

Sudut OBC + sudut OCB + sudut BOC = 180°

z + z + (180° – y) = 180°

2z – y + 180° = 180°

2z = 180° – 180° + y

2z = y

  z = ½ y

---

Sekarang perhatikan segitiga AOC!

Sudut AOC pelurus bagi sudut AOD maka sudut AOC + sudut AOD = 180°, sehingga sudut AOC = 180° – sudut AOD = 180° – x.

Segitiga AOC merupakan segitiga kaki, karena OA dan OC adalah jari-jari lingkaran, sehingga besar sudut OAC dan OCA sama (misal p).

Sudut OAC + sudut OCA + sudut AOC = 180°

p + p + (180° – x) = 180°

2p – x + 180° = 180°

2p = 180° – 180° + x

2p = x

p = ½ x

Dengan demikian, sudut ACB = sudut OCB + sudut OCA = z + p = ½ y + ½ x = ½ (x + y) = ½ sudut AOB. Maka besar sudut AOB = 2 x sudut ACB.

Karena sudut ACB adalah sudut keliling lingkaran dan sudut AOB sudut pusat lingkaran, maka dapat ditarik kesimpulan, yakni :

“Jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama, Maka besar sudut pusat = 2 kali besar sudut keliling”

Contoh Soal

Pada gambar di atas diketahui besar sudut ACB = 27°

hitung besar sudut AOB…!!!

Jawab:

Besar sudut AOB (sudut pusat) = 2 x ACB (sudut keliling)

= 2 x 27°

=54°